О неисключаемом третьем

30.08.2012

Я никогда не хотел быть первым из всех,
Но я не терплю быть вторым.

Б. Гребенщиков.

Кажется, один из первых в новом времени случаев серьезного столкновения аристотелевой логики с ее собственной ограниченностью - история математической теории множеств. Теория, предложенная в 19-м веке Георгом Кантором, в наши дни является одной из основ современной математики (хотя и претерпев значительные изменения), а применение ее принципов легко узнается в самых разных областях познания - к примеру, в объектно-ориентированном программировании или в уилберовских холонах. Первоначальная (т.наз. "наивная") теория множеств в упрощенном виде гласит, что любой объект одновременно состоит из составных частей и сам является составной частью другого объекта. Интересное началось тогда, когда Бертран Рассел открыл в начале 20-го в. вытекающее из этой "наивной" формулировки противоречие.

Если представить себе объекты Кантора в виде иерархии - объект А делится на B и C, а B включает в себя D и E - и расположить эту иерархию вертикально (А сверху, B ниже, D еще ниже), то немедленно возникает вопрос: можно ли продолжать иерархический ряд вверх и вниз до бесконечности? Рассел попытался ответить на первую часть этого вопроса и представить такой объект K, который содержит все объекты как свои составные части. Противоречие заключается в том, что: 1) K не может быть одновременно и всем собой и частью себя; но 2) тогда выходит, что K содержит не все объекты, потому что K - тоже объект.

Парадокс Рассела имеет много наглядных формулировок, но каждая из них - факт весьма знаменательный для любого, кто занимается саморазвитием, - обязательно имеет дело с наивысшим уровнем иерархии и с объектом как самим собой.

Основной (возможно, точнее сказать, мэйнстримной) реакцией на парадокс Рассела в среде ученых, занимавшихся теорией множеств, был отказ от свободного оперирования символами, которое Кантор первоначально заложил в основу теории, и рождение формальной, или аксиоматической теории множеств. Выражаясь упрощенно: математики договорились считать свою науку символическим инструментарием, более или менее произвольно конструируемым языком описания мира, а не полноправной частью мира, как считалось до того.

Историю математики от логики Аристотеля до возникновения формальной теории множеств можно вкратце представить в виде следующего диалога.

Познающий: Я - логик. Если A равно B, а B не равно C, то и A не равно C.
Познаваемое: Как же, ну вот пример, где B не равно C, а A равно и B, и C. Может, что-то неверно с умозаключением?
Познающий: Хмм... Нет, с самим умозаключением все верно, я просто недостаточно строго подобрал символы, чтобы его выразить.

Среди математиков, столкнувшихся с антиномией Рассела, оказались и те, кто пошел иным путем, частично отказавшись от классических постулатов. Так появились интуиционистская логика Брауэра-Гейтинга и отпочковавшаяся от нее конструктивная математика, близко подошедшие к ведическому понятию недвойственности (адвайты).

Но основное русло развития математики совершило знаковый поворот. В формальной (аксиоматической) теории множеств символы сначала описываются набором аксиом, выбираемым для решения поставленной задачи, а уж потом используются в процессе решения.

Пример.
Классическая логика: Сократ смертен, либо Сократ бессмертен.
Формальная логика 1: Договоримся, что имеем в виду физическое тело, биологическую смерть. Сократ смертен.
Формальная логика 2: Договоримся, что имеем в виду культурное наследие. Сократ бессмертен.
Формальная логика 3: Договоримся, что носитель культурного наследия - человечество, а оно тоже не вечно. Сократ смертен.
Формальная логика 4: Договоримся, что человечество вечно. Сократ бессмертен.

Как видим, особенность формального подхода состоит в произвольном выборе из многообразия человеческого опыта некоторой области и решения задачи в пределах этой области (аксиоматики).

Любопытно, что вне математики схожие формально определенные множества использовались человечеством с незапамятных времен. Возможно, лучшим примером является алфавит - определенное множество геометрических фигур (символов), используемых для выражения звуков речи в пределах конкретного языка.

Продолжение - http://www.liveinternet.ru/users/amlugos/post107073447/
Окончание следует